磁懸浮系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的研究

　　1 前言

　　近年來(lái)，磁懸浮技術(shù)得到了迅速發(fā)展，并得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。磁懸浮由于其無(wú)接觸的特點(diǎn)，避免了物體之間的摩擦和磨損，能延長(zhǎng)設(shè)備的使用壽命，改善設(shè)備的運(yùn)行條件，因而在交通、冶金、機(jī)械、電器、材料等各個(gè)方面有著廣闊的應(yīng)用前景。目前國(guó)外在磁懸浮方面的研究工作主要集中在磁懸浮列車方面，進(jìn)展最快，己從實(shí)驗(yàn)研究階段轉(zhuǎn)向試驗(yàn)運(yùn)行階段。

　　以線性二次型性能指標(biāo)為基礎(chǔ)的最優(yōu)控制問(wèn)題是二十世紀(jì)50 年代末期發(fā)展起來(lái)的一種設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的方法, 它把所得到的最有反饋控制與非線性的開(kāi)環(huán)最優(yōu)控制結(jié)合起來(lái)，可減少開(kāi)環(huán)控制的誤差，達(dá)到更精確的控制目的。

　　本文是以固高科技磁懸浮教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)備為模型基礎(chǔ)，結(jié)合線性二次型最優(yōu)控制的一般理論，實(shí)現(xiàn)磁懸浮系統(tǒng)的平穩(wěn)控制，并通過(guò)與經(jīng)典PID控制比較，理論分析及MATLAB仿真，得到更為滿意的結(jié)果。

　　2 磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

　　磁懸浮球控制系統(tǒng)是研究磁懸浮技術(shù)很典型的平臺(tái)，它是一個(gè)典型的吸浮式懸浮系統(tǒng)。

　　它的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，主要由LED光源、電磁鐵、光電位置傳感器、電源、放大及補(bǔ)償裝置、數(shù)據(jù)采集卡和控制對(duì)象(鋼球)等元件組成

　　圖1磁懸浮實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

　　2.1系統(tǒng)的工作原理

　　電磁鐵繞組中通以一定的電流會(huì)產(chǎn)生電磁力F，只要控制電磁鐵繞組中的電流，使之產(chǎn)生的電磁力與鋼球的重力mg相平衡,鋼球就可以懸浮在空中而處于平衡狀態(tài)。為了得到一個(gè)穩(wěn)定的平衡系統(tǒng)，必須實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制，使整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定具有一定的抗干擾能力。本系統(tǒng)中采用光源和光電位置傳感器組成的無(wú)接觸測(cè)量裝置檢測(cè)鋼球與電磁鐵之間的距離x的變化。電磁鐵中控制電流的大小作為磁懸浮控制對(duì)象的輸入量。

　　2.2 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

　　實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下：

　　由于輸入量直接是電磁鐵的控制電流，沒(méi)有考慮感抗對(duì)系統(tǒng)的影響，而從感性元件儲(chǔ)能的角度加以分析建模。且假設(shè)功率放大器的輸出電流與輸入電壓之間呈嚴(yán)格的線性關(guān)系且無(wú)延遲。

系統(tǒng)可用下列方程來(lái)描述： 拉普拉斯變換后得： 由邊界方程 代入得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：

　　定義系統(tǒng)對(duì)象的輸入量為功率放大器的輸入電壓也即控制電壓，系統(tǒng)對(duì)象輸出量為所反映出來(lái)的輸出電壓為(傳感器后處理電路輸出電壓)，則該系統(tǒng)控制對(duì)象的模型可寫(xiě)為：

由上所得，取系統(tǒng)狀態(tài)變量分別 ，系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：

　　將以上參數(shù)帶入可得到

　　由以上可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量的維數(shù)，所以磁懸浮實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)既是可控的又是可觀的，因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

　　3 線性二次型最優(yōu)控制方法

　　3.1 線性二次型最優(yōu)控制器的結(jié)構(gòu)

　　其結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示

　　圖2線性二次型最優(yōu)控制器的結(jié)構(gòu)圖

　　3.2 線性二次型最優(yōu)控制方法

　　設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

其中，是n維的狀態(tài)向量，是m維的控制向量，是維和維矩陣向量。設(shè)計(jì)狀態(tài)調(diào)節(jié)器，線性二次型最優(yōu)控制的目的是設(shè)計(jì)，使線性二次型的性能指標(biāo) 最小,其中，和分別是對(duì)狀態(tài)變量和輸入向量的加權(quán)矩陣，對(duì)最優(yōu)控制而言，為半正定的對(duì)稱常數(shù)矩陣，為半正定的對(duì)稱常數(shù)矩陣，F(xiàn)為正定的對(duì)稱矩陣。構(gòu)造哈密頓函數(shù)

　　求解Riccati矩陣微分方程：

得到最優(yōu)控制： 式中 為狀態(tài)反饋系數(shù)矩陣，它可用下面式子來(lái)描述：

　　4 系統(tǒng)的MATLAB仿真

　　由圖2中得系統(tǒng)模型為：

現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)的最優(yōu)控制律為 ，求反饋增益矩陣 ,使得性能指標(biāo)： 選取，在Matlab環(huán)境下編寫(xiě)程序進(jìn)行線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)仿真,得最優(yōu)控制器的反饋增益矩陣K的值為：K =[10.3998 1.0042]，沖擊響應(yīng)仿真結(jié)果如圖3所示：

　　圖3 沖擊響應(yīng)仿真曲線(一)

選取，得最優(yōu)控制器的反饋增益矩陣K 的值為：K =[ 32.0173 1.0127]，沖擊響應(yīng)仿真結(jié)果如圖4所示：

　　圖4 沖擊響應(yīng)仿真曲線(二)

選取，得最優(yōu)控制器的反饋增益矩陣K 的值為：K =[ 100.3929 1.0394]，沖擊響應(yīng)仿真結(jié)果如圖5所示：

　　圖5 沖擊響應(yīng)仿真曲線(三)

　　比較仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，圖5沖擊響應(yīng)需要的穩(wěn)定時(shí)間較短，并且在穩(wěn)定時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的幅值變化較小，較好的滿足了系統(tǒng)的平穩(wěn)控制，由此可見(jiàn)本文最優(yōu)控制方法很好的達(dá)到了系統(tǒng)的要求。

　　當(dāng)系統(tǒng)采用PID調(diào)節(jié)器的時(shí)候，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6所示：

　　圖6 PID系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

　　經(jīng)多次設(shè)置PID參數(shù)進(jìn)行仿真比較，當(dāng)PID參數(shù)時(shí)，系統(tǒng)控制性能得到最佳結(jié)果，仿真結(jié)果如圖7所示：

　　圖7 沖擊響應(yīng)仿真曲線(四)

　　采用PID調(diào)節(jié)器的控制結(jié)果和最優(yōu)控制方法相比，雖然能達(dá)到控制目的，但控制指標(biāo)效果不理想，且多次試驗(yàn)參數(shù)時(shí)間較長(zhǎng)，采用最優(yōu)控制通過(guò)最優(yōu)化算出反饋增益，減少時(shí)間，達(dá)到比較滿意的控制指標(biāo)。

　　結(jié)束語(yǔ)

　　本文結(jié)合線性二次型最優(yōu)控制的一般理論，實(shí)現(xiàn)磁懸浮系統(tǒng)的平穩(wěn)控制，并通過(guò)理論分析及MATLAB仿真，且與經(jīng)典PID控制比較仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)控制方法需要的穩(wěn)定時(shí)間較短，并且在穩(wěn)定時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的幅值變化較小，較好的滿足了系統(tǒng)的平穩(wěn)控制，由此可見(jiàn)本文最優(yōu)控制方法很好的達(dá)到了系統(tǒng)的要求。