改進(jìn)的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法及其仿真

　　1 引言

　　自適應(yīng)濾波研究始于20世紀(jì)50年代末Widrow和Hoff提出的最小均方誤差算法,由于該算法具有簡單性、魯棒性和易于實(shí)現(xiàn)的性能,因此在自適應(yīng)濾波原理中得到了很好的應(yīng)用[1]。然而,傳統(tǒng)的固定步長的LMS算法在收斂速度、時(shí)變系統(tǒng)的跟蹤能力和穩(wěn)態(tài)失調(diào)之間的要求是存在很大矛盾的。小的步長確保穩(wěn)態(tài)時(shí)具有小的失調(diào),但是算法的收斂速度慢,并且對(duì)非穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的跟蹤能力差;大的步長使算法具有更快的收斂速度和好的跟蹤能力,但這是以大的失調(diào)為代價(jià)的[2-3]。為解決這一矛盾,各種變步長LMS算法被提出。變步長算法都是利用自適應(yīng)過程中提供的某種近似值作為衡量標(biāo)準(zhǔn)來調(diào)節(jié)步長。簡單有效的方法是利用自適應(yīng)過程中的誤差信號(hào),試圖在步長與誤差信號(hào)之間建立某種函數(shù)關(guān)系。文獻(xiàn)[4]給出Sigmoid函數(shù)的變步長LMS算法(SVSLMS),其能同時(shí)獲得較快的收斂速度、跟蹤速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。然而,該Sigmoid函數(shù)在誤差e(n)接近零時(shí)變化太大,不具有緩慢變化的特性,使得SVSLMS算法在穩(wěn)態(tài)時(shí)仍有較大的步長變化。為此,文獻(xiàn)[5-6]分別給出相應(yīng)的改進(jìn)算法,使其在穩(wěn)態(tài)時(shí)步長因子很小,而且變化不大,解決了SVSLMS算法存在的問題。文獻(xiàn)[7]克服了文獻(xiàn)[5]在低信噪比下收斂速度變慢的問題,但在穩(wěn)態(tài)性能方面欠佳。在分析了以上算法的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[8]提出了基于雙曲正切函數(shù)的變步長算法,該算法能同時(shí)獲得較快的收斂速度、跟蹤速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。然而,該雙曲正切函數(shù)在誤差e(n)接近零處變化太大,不具有緩慢變化的特性,使得該算法在自適應(yīng)穩(wěn)態(tài)階段仍有較大的步長變化,并且在低信噪比環(huán)境下,該算法收斂速度、跟蹤速度和穩(wěn)態(tài)誤差并不十分理想。本文在此基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)型算法,不僅保證了較快的收斂速度、跟蹤速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差,并且克服了雙曲正切函數(shù)在自適應(yīng)穩(wěn)態(tài)階段步長調(diào)整過程中的不足,同時(shí),降低了算法對(duì)自相關(guān)性較弱噪聲的敏感性。

　　2 固定步長LMS算法

　　基本的LMS算法可以表示為

(1)

(2)

其中X(n)為n時(shí)刻輸入信號(hào)矢量;W(n)為時(shí)刻 N 階自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù), d(n) 為期望信號(hào), e (n) 為誤差信號(hào),是步長因子。該算法收斂的條件是,是輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的最大特征值。

　　圖1 自適應(yīng)濾波原理框圖

　　3 改進(jìn)的變步長LMS算法及其分析

　　文獻(xiàn)[8]中提出了基于雙曲正切函數(shù)的變步長LMS算法:

(3)

(4)

式中變步長是 e(n) 的雙曲正切函數(shù)。

　　該算法能同時(shí)獲得較快的收斂速度、跟蹤速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差e(n) 。然而,該雙曲正切函數(shù)在誤差接近零處變化太大,不具有緩慢變化的特性,使得該算法在自適應(yīng)穩(wěn)態(tài)階段仍有較大的步長變化,并且在低信噪比環(huán)境下,該算法收斂速度、跟蹤速度和穩(wěn)態(tài)誤差并不十分理想,這是算法的不足。

　　本文通過對(duì)雙曲正切函數(shù)修正得到新的變步長LMS算法為:

　　(5)

　　3.1 收斂性分析

β用于控制函數(shù)的取值范圍,α和h用于控制函數(shù)的形狀。根據(jù)算法收斂條件:,則要求,同時(shí)根據(jù)步長調(diào)整原則的要求,應(yīng)有參數(shù),在此條件下分析參數(shù)α、β和h的選擇。為了說明參數(shù)α、β和h對(duì)函數(shù)的影響,繪制了在不同參數(shù)下和 e(n) 的函數(shù)關(guān)系曲線。由圖2~4可知:α選擇過大時(shí)誤差e(n)接近0仍有較大步長,穩(wěn)態(tài)誤差增大,α選擇過小時(shí)步長較小且變化緩慢,收斂速度降低;β選擇過大時(shí)會(huì)超出收斂條件,過小時(shí)初始階段收斂速度較慢;h選擇過大時(shí),步長調(diào)整過早進(jìn)入緩慢變化區(qū)域,選擇過小時(shí)會(huì)增大穩(wěn)態(tài)誤差。因此參數(shù)α、β和h應(yīng)根據(jù)具體的系統(tǒng)環(huán)境與要求進(jìn)行選擇。

　　3.2 抗干擾性分析

　　由式(1)可得:

(7)

　　而誤差 e(n) 與輸入信號(hào)X(n)有關(guān),為了便于分析,d(n)將表示為

(8)

　　式中: N(n) 是均值為零的噪聲,與輸入信號(hào)無關(guān);W*(n)為時(shí)變的最優(yōu)系數(shù)矢量。令

(9)

　　式中:K(n)為系數(shù)偏差矢量。

　　則由式(7)~(9)得

(10)

由于N(n)是零均值的噪聲,N(n)與X(n)無關(guān),并且噪聲N(n)本身不相關(guān),對(duì)的貢獻(xiàn)很小,可忽略不計(jì),故有

(11)

　　而在文獻(xiàn)[8]算法中,根據(jù)N(n)本身不相關(guān),與X(n)也不相關(guān),可得出

(12)

從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn),由式(12)可以看出,當(dāng)采用式(3)對(duì)步長因子進(jìn)行調(diào)整時(shí),由于 E[N(n)] 項(xiàng)的存在,不在是算法自適應(yīng)狀態(tài)的準(zhǔn)確反應(yīng),在噪聲和干擾比較嚴(yán)重的應(yīng)用環(huán)境下,N(n)將影響LMS算法的性能,是自適應(yīng)算法很難達(dá)到最優(yōu)解,在最優(yōu)解周圍波動(dòng)。為了減小N(n)對(duì)步長因子的影響,式(5)對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn),即用e(n)e(n-1)來調(diào)節(jié)步長因子,而不是文獻(xiàn)[8]算法中的e(n)。在自適應(yīng)濾波的開始階段,e(n)比較大,也較大,由于噪聲N(n)不相關(guān),N(n)N(n-1)對(duì)的貢獻(xiàn)很小,所以N(n)對(duì)的影響可以忽略不計(jì)。當(dāng)e(n)較小時(shí),也較小,由于改進(jìn)算法的步長只與輸入信號(hào)有關(guān),而不受噪聲的影響。因此,具有收斂速度快,穩(wěn)態(tài)誤差小的優(yōu)點(diǎn),而且在低信噪比的環(huán)境中仍保持較好的性能,具有廣泛的用途。

　　4 仿真結(jié)果及分析

　　4.1 仿真條件

　　本節(jié)從收斂性、跟蹤性能、穩(wěn)態(tài)性能和抗干擾性能等方面進(jìn)行仿真比較,說明本文算法的有效性。采用文獻(xiàn)[8]的實(shí)驗(yàn)條件:

　　(1) 自適應(yīng)濾波器的階數(shù)L=2;

(2) 未知系統(tǒng)的FIR系數(shù)為;在第500個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)刻,未知系統(tǒng)發(fā)生時(shí)變,系數(shù)矢量變?yōu)?IMG height=27 alt="" src="http://img.ca800.com/losefile/2012-10-31/12103117224908.jpg" width=85 border=1>;

(3) 參考輸入信號(hào)x(n)是零均值、方差為1的高斯白噪聲;

(4)v(n)為與x(n)不相關(guān)的高斯白噪聲,其均值為零、方差。為得到LMS算法的學(xué)習(xí)曲線,分別做200次獨(dú)立的仿真,采樣點(diǎn)數(shù)為1000,然后求其統(tǒng)計(jì)平均。

本文步長在和時(shí)為 最優(yōu)狀態(tài)。

　　4.2 仿真結(jié)果及分析

　　圖5是本文算法和原算法收斂曲線的比較,上面一條是、和為原算法最佳值的收斂曲線,下面一條是本文算法的最優(yōu)收斂曲線。由圖5可知本文算法優(yōu)于原算法。

　　圖6和圖7分別是信噪比為10dB和18dB時(shí)本文算法和原算法收斂曲線的比較。可以看出,低信噪比時(shí)原算法的穩(wěn)態(tài)誤差波動(dòng)較大,本文算法穩(wěn)態(tài)性能優(yōu)于原算法;信噪比相對(duì)比較大時(shí),2種算法的仿真曲線近似一致,說明在高信噪比的情況下,二者具有相同的性能。

　　5 結(jié)束語

本文通過對(duì)雙曲正切函數(shù)的修正,建立了步長因子與誤差信號(hào)e(n)之間新的非線性函數(shù)關(guān)系,其在誤差e(n)接近零處具有緩慢變化的特性,克服了雙曲正切函數(shù)在自適應(yīng)穩(wěn)態(tài)階段步長調(diào)整過程中的不足。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明該算法比原算法收斂性能更好,與理論分析相一致。并且,在低信噪比環(huán)境下,該算法比原算法有更小的穩(wěn)態(tài)誤差,有更好的抗噪聲性能。