依次可以得到多次的累加數列。
　累加算法可以將離散的無規律的序列轉化為單調增加得有規律的序列從而起到弱化隨機信號的作用。對于經過多次累加的生成序列，大多可用指數函數擬合，也就是說大多可用微分方程描述。對應的各個點的值可以近似的作為微分方程的解。根據這個微分方程可以預測下一個時刻時間序列的值。
　2.累減生成算法
　經過累加以后的序列，已經失去了原來的物理意義，所以方程的求解結果必須還原到原序列，累加算法的逆運算叫做累減算法，記作IAGO(Inverse Accumulated GeneratingOperation)。
其中j=1,2,…,n

　3.GM(1,1)灰色預測模型原理
　GM(1,1)模型是應用最廣的一類模型，是由一個只包含單變量的一階微分方程構成的模型。其構造流程如下：
　　將原始時間序列表示為X(0)

設Y=

即可記作　
　　Y=XB (11)　　
　其中Y和X為已知量，B為待定參數。由于變量只有a，b兩個，而方程數卻有N-1個，當矩陣的秩Rank(X)>2時，方程組無解。但可用最小二乘法得到最小二乘解。此時方程可改為：

3.3.3 傳感器在線故障診斷的流程

　圖1 傳感器故障診斷流程圖

　由上述的流程圖可以看出，進行傳感器故障診斷的流程如下：
　1. 得到傳感器之前的n個時刻的采樣值，以構成預測數列Xn。得到Xn可以通過兩種方式，通過檢索歷史數據庫獲得傳感器的n個歷史采樣數據或者在進行故障診斷前預先進行n個采樣。
　2. 對數列Xn進行建模，得出下一時刻傳感器輸出的預測值x’；
　3. 采樣時間到后取得傳感器輸出的實際值x，計算x與x’的誤差是否在規定的閥值e之內；這里所說的閥值可以是固定的，也可以是變化的，具體采取多大的數值，視情況而定；
　4. 若x與x’之間的誤差超過閥值，則記錄傳感器超限一次，連續超限計數器count加1，并以x’刷新Xn；否則將超限計數器清零，并以x刷新Xn，進入下一次采樣；
　5. 當連續超限計數器超過設定的超限次數m時，系統發出傳感器故障報警。
　三、傳感器灰色預測模型的建立與驗證
　1.建模序列個數及故障閥值的確定
　在控制系統中，常用的傳感器有溫度傳感器、壓力/壓差傳感器、電量變送器、轉速傳感器、加速度傳感器等。下面以溫度傳感器為例來進行建立傳感器故障診斷的灰色預測模型，并進行驗證。我們選擇的溫度傳感器傳感器為西門子樓宇科技公司的1000歐姆鉑電阻溫度傳感器，其規格如下：　　

　　表1 溫度傳感器參數表

　下表為2004年10月11日中午12:15到10月12日中午12:15之間24小時內該溫度傳感器輸出溫度的折線圖。

圖2 溫度傳感器輸出折線圖

　其工作狀況如下：2004年10月11日13:32時機組開機，運行至22:52分關機；10月12日10:13重新開機運行。采樣時間間隔為1分鐘。
　在確定預測序列個數的時候需要考慮以下兩個因素：一是預測的結果，二是計算機的計算能力，經過比較確定取5個序列建模較為合適。根據建模結果，在進行傳感器故障診斷時選用雙故障閥值的方法進行處理。在正常情況下(包括冷水機組開或關的平穩狀態)，故障閥值設定為0.200℃，而將冷水機組開/關的情況視為非平穩狀態，故障閥值設定為0.500℃。具體的實現方式為將冷水機組的狀態變化作為計數器的觸發器將計數器置為18(這個數值是根據溫度變化大的區間決定的)，以后每經過一次采樣則計數器減1，在計數器非零時故障閥值為0.500℃，歸零后故障閥值降為0.200℃。
　考慮到溫度傳感器可能因外界的干擾而造成輸出的變化，而在干擾消失后輸出又恢復正常的情況，我們設定當傳感器輸出連續3次超限時認為傳感器發生故障，少于3次時只記錄超限而并不發出傳感器故障信號。　　
　2.傳感器灰色預測模型的驗證　
　下表為該傳感器在2004年10月11日22:47至23:14之間傳感器輸出，采樣周期為1分鐘，在第8個采樣值處冷水機組關機。
　　
　　表2 開機前后6-1#水溫傳感器輸出值

　采用5個時間序列建模，得到第6個采樣的預測值為5.839℃，與實際采樣值6.020℃之差為0.181℃，小于閥值0.200℃，故認為在第6個采樣時刻傳感器無故障。用第2至第6個時刻的采樣值建模，得到第7個時刻的采樣的預測值5.920℃，與實際采樣值之差為0.330℃，大于此時刻的閥值0.200℃，此時記錄傳感器輸出超限1次，在進行以后采樣時刻預測時用第7個時刻的預測值5.920℃代替實際采樣值6.250℃。以第3、4、5、6時刻的采樣值加上第7時刻的預測值進行建模預測第8個時刻的值為5.967℃。與實際采樣值的誤差為0.017℃小于閥值0.200℃。可以認為傳感器在第7個采樣時刻發生了暫發性故障，而后又自動恢復。
　以第4、5、6時刻的采樣值加上第7時刻的預測值、第8個時刻的采樣值進行建模，得到第9個時刻預測值5.960℃，與采樣值誤差為0.390℃。由于在第9個采樣時刻之前有關機信號，故閥值變為0.500℃，認為此時刻傳感器正常。　　
　由以上分析可以看出，基于灰色預測模型的傳感器故障診斷方法是有效的。
　四、小結
　隨著控制系統控制精度要求的提高，傳感器的故障診斷技術也得到了迅速的發展。相對于其余的傳感器故障診斷方法，基于灰色預測模型的傳感器故障診斷方法具有以下優點：
　(1).相對于一件冗余法來說，基于灰色預測模型的傳感器故障診斷方法具有硬件投資少的特點，僅僅需要增加一臺故障診斷計算機或者直接采用控制系統的計算機即可；
　(2).相對于解析冗余來說具有不需要對傳感器進行深入分析易于建模的特點。
　(3).相對于基于概率統計的方法來說具有預測精度高，預測誤差小的特點。
　當然，基于灰色預測模型的傳感器故障診斷方法也存在缺點，主要就是該方法只能檢測出傳感器突發性故障，而對于傳感器的漸發性故障（如零點漂移故障）就無能為力了。這個缺點可以通過結合其余的診斷方法或者定期對傳感器進行零點校正來克服。　
　總的說來，基于灰色預測模型的傳感器故障診斷方法具有投資少，精度高易于建模與編程等特點，結合其它的方法，可以建立比較完善的傳感器故障診斷系統。